Gefälle und Neigungen berechnen: Mit den richtigen Formeln ganz einfach!
Viele Bauteile benötigen ein Gefälle, damit sie ordnungsgemäß funktionieren. Ein typisches Beispiel hierfür sind die Abwasserleitungen, in denen Wasser stehen bleiben würde, wenn sie absolut waagerecht verliefen. Ebenso wichtig ist eine Neigung bei einem Dach, damit das Regenwasser abfließen kann und keinen Schaden am Haus anrichtet. In den meisten Fällen soll ein Gefälle beziehungsweise eine Neigung also einen Wasserstau verhindern. Es gibt jedoch auch Ausnahmen. Zu ihnen gehört zum Beispiel eine Rampe für Rollstuhlfahrer, die nicht zu steil sein darf. Bei ihr betrachtet man das Gefälle von der anderen Seite als Steigung. Die Begriffe Gefälle beziehungsweise Neigung und Steigung meinen daher im Prinzip das Gleiche.
Grad oder Prozent – eine Frage der Gewohnheit
Gefälle werden sowohl in Grad als auch in Prozent angegeben. Ob die Angabe in Grad oder Prozent erfolgt, hängt davon ab, welche Variante sich im Laufe der Zeit durchgesetzt hat. So geben zum Beispiel die Hersteller von Dachschindeln das notwendige Gefälle meistens in Grad an, während beim Terrassenbau und bei der Montage von Dachrinnen Prozentangaben üblich sind. Auch auf Straßenschildern, die vor abschüssigen oder stark ansteigenden Straßen warnen, steht das Gefälle beziehungsweise die Steigung stets in Prozent. Bei der Dachneigung hat sich dagegen wiederum die Gradangabe durchgesetzt.
Das Gefälle in Prozent berechnen
Ein Gefälle in Prozent bezieht sich auf eine Strecke von 100 Metern und gibt den Höhenunterschied zwischen dem einen und dem anderen Ende an. Bei einem Gefälle von 5 Prozent beträgt der Höhenunterschied also fünf Meter.
Grundlage für alle Berechnungen ist die Formel Höhenunterschied : Strecke = Gefälle. Von dieser Formel ausgehend, können Sie alle drei Werte ausrechnen, sofern Ihnen die anderen beiden bekannt sind.
Beispiel: Sie möchten eine Terrasse bauen. Ihr Boden sollte ein Gefälle von zwei bis drei Prozent haben, damit sich kein Regenwasser sammelt und womöglich sogar in Richtung der Hauswand strömt. Es würde der Bausubstanz schaden und auch auf Pfützen vor der Terrassentür können Sie sicherlich verzichten.
Wie breit und wie tief Ihre Terrasse werden soll, haben Sie vielleicht schon festgelegt. Damit sie ein optimales Gefälle hat, müssen Sie nun noch den Höhenunterschied zwischen der Seite, die an der Hauswand liegt, und der Seite, die an den Garten grenzt, berechnen. In diesem Fall lautet die Formel:
Strecke : 100 x Gefälle in Prozent = Höhenunterschied
Bei einer beispielsweise fünf Meter tiefen Terrasse, die ein Gefälle von 3 Prozent haben soll, rechnen Sie dementsprechend 5 Meter : 100 x 3 = 0,15 Meter oder in der kürzeren Version 0,03 x 5 Meter = 0,15 Meter.
Der Höhenunterschied sollte also 0,15 Meter = 15 Zentimeter betragen. Wie in den allermeisten Fällen ist dieser Wert eine grobe Richtschnur. Es kommt nicht auf jeden Millimeter an.
Möchten Sie das Gefälle berechnen, rechnen Sie gemäß der Formel Höhenunterschied : Strecke x 100 = Gefälle in Prozent (in unserem Beispiel 0,15 : 5 x 100 = 3)
Vergessen Sie hierbei nicht, nur eine Maßeinheit wie Meter oder Zentimeter zu verwenden. Die ermittelte Prozentzahl gibt Ihnen übrigens gleichzeitig den Höhenunterschied bezogen auf eine Strecke von 100 Metern an. Hätte die Terrasse eine Tiefe von 100 Metern, würde der Höhenunterschied bei einem Gefälle von 3 Prozent daher 3 Meter betragen.
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Eine Neigung von mehr als 100 % ist sowohl mathematisch als auch in der Realität möglich. Bei solch einer besonders steilen Neigung beträgt der Höhenunterschied auf einer Strecke von 100 Metern mehr als 100 Meter.
Zur Ermittlung der Strecke, also in unserem Beispiel der Tiefe der Terrasse, rechnen Sie:
Höhenunterschied : Gefälle in Prozent x 100 = Strecke (0,15 : 3 x 100 = 5)
Das Gefälle in Grad berechnen
Die Berechnung eines Gefälles in Grad ist etwas schwieriger und nur mithilfe eines Taschenrechners möglich. Er muss die Funktionen tan und tan-1 besitzen. Die Funktion tan-1 kann auch arctan heißen.
Um das Gefälle oder genauer gesagt den Neigungswinkel zu berechnen, geben Sie ein:
tan-1 (Höhenunterschied : Strecke) = Gefälle in Grad
Bei unserer Terrasse wären es: tan-1 (0,15 : 5) = 1,72°
Ein Gefälle in Grad liegt immer zwischen 0 und 90. Ein anderes Ergebnis ist damit automatisch falsch. Beträgt der Neigungswinkel 45° entspricht dies einer Neigung von 100 %.
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So rechnen Sie die Werte um
Möchten Sie Prozentwerte in Gradwerte oder umgekehrt eine Grad- in eine Prozentangabe umrechnen, helfen Ihnen folgende Formeln:
tan-1 (Gefälle in Prozent : 100) = Neigungswinkel in Grad
tan (Neigungswinkel in Grad) x 100 = Gefälle in Prozent
Alternativ werfen Sie einen Blick auf die beiden nachfolgenden Tabellen mit einigen Beispielen.
| Grad | Prozent |
|---|---|
| 1 | 1,75 |
| 2 | 3,49 |
| 3 | 5,24 |
| 4 | 6,99 |
| 5 | 8,75 |
| 6 | 10,51 |
| 7 | 12,28 |
| 15 | 26,79 |
| 20 | 36,4 |
| 25 | 46,63 |
| 30 | 57,74 |
| 40 | 83,91 |
| 45 | 100 |
| Prozent | Grad |
|---|---|
| 1 | 0,57 |
| 2 | 1,15 |
| 3 | 1,72 |
| 4 | 2,29 |
| 5 | 2,86 |
| 6 | 3,43 |
| 7 | 4 |
| 15 | 8,53 |
| 20 | 11,31 |
| 25 | 14,04 |
| 30 | 16,7 |
| 40 | 21,8 |
| 45 | 24,23 |
Die Neigung mit dem Satz des Pythagoras berechnen
Auch der Satz des Pythagoras a² + b² = c² ist bei der Berechnung von Strecken mit einem Gefälle und des Neigungswinkels oft hilfreich. Diese mathematische Formel können Sie bei allen rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Der Wert c steht für die Hypotenuse. Diese Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste. Die beiden anderen Seiten des Dreiecks werden als Katheten bezeichnet.
Ein rechtwinkliges Dreieck bilden zum Beispiel ein Hausdach und der Dachboden, wenn Sie sich – wie auf unserer Grafik – von einer beliebigen Stelle auf dem Fußboden des Dachbodens eine senkrechte Linie bis zum Dach vorstellen. Diese Linie und der Fußboden haben einen rechten Winkel. Ihm gegenüber liegt das Dach. Es ist in diesem Beispiel daher die Hypotenuse. Möchten Sie wissen, wie lang Ihr Dach ist, markieren Sie zunächst einen Punkt auf dem Fußboden. Von dort messen Sie mit dem Zollstock oder einem anderen Werkzeug nach oben und zur Seite den Abstand bis zum Dach. Diese beiden Werte müssen Sie wie in unserem Rechenbeispiel nur noch in die Formel a² + b² = c² einsetzen.
Möchten Sie die Länge einer der anderen Strecken berechnen, stellen Sie die Formel um:
a² = c² – b²
b² = c² – a²
Auch der Neigungswinkel lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Bei dieser Berechnung kommen die Begriffe Ankathete und Gegenkathete ins Spiel. Als Ankathete wird die Seite des Dreiecks bezeichnet, die am Winkel, den Sie berechnen möchten, anliegt. Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber. Die Hypotenuse bleibt hiervon unberührt und ist nach wie vor die längste Seite des Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel.
Der Winkel, der berechnet werden soll, wird in der Formel mit α für Alpha gekennzeichnet. Er lässt sich mithilfe eines Taschenrechners mit Sinus- und Cosinusfunktion und anhand folgender Formeln ermitteln:
sin (α) = Gegenkathete : Hypotenuse
cos (α) = Ankathete : Hypotenuse
Den durch diese Division ermittelten Wert sin (α) beziehungsweise cos (α) wandeln Sie durch das Drücken der Taste sin-1 beziehungsweise cos-1 in Grad um.
Haben Sie einen Winkel berechnet, kennen Sie übrigens auch den anderen, denn die Summe aller drei Winkel beträgt in einem Dreieck immer 180°. Sind Sie unsicher, ob ein berechneter Wert richtig ist, können Sie ihn daher durch die Berechnung des anderen Winkels überprüfen.
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